【前言】目前我校在线课堂教学如火如荼，老师们在各大教学平台化身“直播高手”“网课达人”倾心打造精彩课堂，有效保证了在线学习与线下课堂教学质量实质等效。为进一步推进信息技术与教育教学深度融合，创新线上教学模式，培育和打造线上“金课”，发挥优秀案例引领示范作用，教务处通过此专栏搭建学习交流平台，总结在线课堂教学经验，展示在线课程建设成果，供老师们参考、学习和借鉴。
【本期分享】数学学院陈志景老师：基于“线上自学+线上共享录播授课”的《数学分析2》线上教学实践
一、课程基本情况
课程名称：《数学分析2》
课程类型：专业基础课
课程学时：108（理论学时）
授课班级：19应统1班（38人）
课程教学目标：数学分析是现代数学的基础课程，是数学各本科专业培养计划中的必修课程之一。这门课程的特点是内容丰富，理论深入，抽象度高。本课程的主要内容是一元积分学和级数的基本理论和方法。在教学中，教师要以微积分学的物理背景为引子，以分析思想、分析方法和运算方法的掌握为重点，使学生在理解和掌握基本理论的同时，了解分析学在现代科技发展中的广阔的应用背景，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、运算能力和应用能力，为进一步学习概率论、数理统计、应用随机过程等后继课程打好基础。
学情分析：学生上学期已经学过极限、连续、导数和微分的知识，这学期从微分中值定理开始。而微分中值定理与连续函数的性质和导数的概念紧密相关。因此，教师在开课前让学生复习了连续函数的基本性质和导数的相关内容，特别是闭区间上连续函数的最大最小值定理和导数的几何意义。由于教师所拥有的宽带网络不稳定，因而需要充分运用录播视频、线上已有的慕课资源和微信群答疑等多种方式，来指导学生的学习，以期达到较好的教学效果。根据上学期的作业和考试情况，学生的数学基础和思维品质有较为明显的分层，需要在线上教学中设计多个层面的教学，以使得每一名学生在学习中都能找到适合自己的切入点，实现真正意义上的因材施教。
二、教学设计思路
本课程采用线上自学+线上共享录播授课+线上线下辅导的形式教学。这种教学模式的选择主要基于如下几个方面的分析：
（一）从课程的特点来看。《数学分析2》中的数学概念、命题定理以及技巧方法与《数学分析1》相比，更为复杂和抽象，与学生已有的高中数学知识相距甚远。已有的慕课资源的讲课方式，简洁明快，能让学生迅速看到数学分析课程的概貌。借助慕课资源的学习，有利于提高学生的自学能力。但是，单纯让我们的学生通过已有的慕课来学习，难度比较大。其原因在于，现成的慕课资源，都有特定的教学起点和教学对象，例如华东师大版的视频资源，里面每一个视频的讲解水平都非常高，但要完全理解里面内容，需要扎实的高中数学基础(熟练掌握函数的概念、三角函数以及相关的和差化积公式等等)，这一点与我校大部分学生的水平不匹配。因此，要运用好这部分资源，就得充分了解视频资源与我校学生所拥有的基础之间的差距，并予以详细的补充讲解。
图 1 教师对视频课内容的补充解释
（二）从任课教师开展教学工作的来看。虽然直播教学的网络条件有所欠缺，但录播的软硬件条件都已达到（前期调查表明19应统1班的学生都具备线上听课与讨论的条件）。而且，教师在第一学期已经开始使用云班课、微信答疑和手写板等工具辅助教学。同时，由于云班课新增设了轻直播的功能，这也为在教学中设置即时答疑和讨论，提供了良好的教学环境。线上慕课资源的讲课内容省略了比较多的细节，这既是它的劣势，也是它的优势，学生通过线上自学非常容易发现问题。因而，录播课就可以以学生发现的问题为起点来设计，这样学生在录播课的学习中，就比较容易进入“发现问题——分析问题——解决问题——反思问题”的良性循环，达到较好的教学效果。采用线上线下辅导，有两方面的目的，一方面是与学生探讨听课中遇到的问题，另一方面，是针对学生的听课情况，予以相应的检测，从学生的反馈中发现教学中存在的问题，及时调整，让整个教学处于一种动态调整的状态。
（三）从学生的角度出发来看。每一位学生的数学基础不尽相同，他们听课“卡壳”的点也就不一样。数学分析课逻辑性特别强，一旦思路卡壳，往往很难跟上之后的推演。在以往的教学中，不论是线下课，还是直播课，教师与学生的互动时间都不多，不可能停下来给学生及时答疑。这也是大一学生对数学课产生畏惧的原因之一。而录播课的优势在于，教师可以从讲课中“解放”出来，随时给予解答。由此提升学生学习数学分析的积极性，降低听课的难度。采用线上自学，学生将提早发现自己的知识盲点。而在线上辅导环节，设计相应的课堂练习，可以让学生在习得新知识后，有合适的用武之地，提升学习的成就感。
上述线上教学模式的实现涵盖了课前、课中和课后三个过程。由此，我们设计了如下动态教学流程。
图 2 教学流程图
三、线上教学活动的组织与管理
1.课前环节
(1) 上传上课资料，学生预习。正式上课前一周，建立微信群“19统计数分学习群”，教师通过微信群公告发布上课的纪律要求，学校通知，在微信群发布每一周的学习任务和学习链接。在云班课开设班级学习群“数学分析2”，并在云班课的资源中上传电子教材、教学进度表、教学大纲，每周更新上课课件、视频课视频、视频课底稿、慕课资源答疑手稿。
图3线下的备课讲义
图4 提前将教学资料发布在云班课
（2）考勤是督促学生学习的一个重要手段。在当前线上教学模式下，提前提醒学生做好上课准备是非常有必要的。为此，教师在每次正式上课时间前10分钟做一次考勤，通过云班课签到功能，完成签到，了解学生上课的情况。云班课自动保存每次的课前考勤记录。对未签到的学生，则通过微信、电话等，及时了解学生的具体情况。
图5 云班课签到
图 6 及时了解未签到学生的情况
2.课中环节：云班课轻直播+录播上课+课堂检测/作业
在正式教学时间内，学生开始在云班课或强国学习中学习指定的录播课和慕课视频；同时，教师在云班课中开启轻直播活动，与学生共同进入轻直播，采用语音、短视频或图片的方式，互动讨论，随时解决录播课和慕课视频中的问题。为了便于学生复习和做笔记，录播的教学视频可以在课后重复回放。在云班课轻直播中，发起讨论，鼓励学生提问题，特别是提简单的问题。对积极参与讨论的学生，给予表扬。同时，将学生的问题进行梳理，为下一次的录播课做准备。
图7 云班课轻直播讨论课进行中
对数学理论课来说，“粉笔”和“黑板”是不可或缺的教学工具。每一个概念、每一个题目和定理的讲解，都需要教师一步步的推演，才能达到比较好的教学效果。因此，根据数学分析课程的特点，不论是录播还是答疑，我们都采用电子手写板演示的方式来展开。根据上一学期的经验，电子手写板屏幕共享可以完全替代“黑板”的功能，并且每一次讲解的过程都能完整的保存下来，非常有利于学生课后完善自己的笔记，与教师讨论时也有据可依，保证了学生的学习效果。同时，这也为教师做课后反思，提供了便利。
图8 手写板辅助教学工具
图9 录播课视频一隅
图10 录播课理论推导过程
在课堂中，教师通过观察云班课上的学习进度，了解学生的学习情况。对进度比较慢的学生，及时了解情况。
图 11 学生录播课学习进度
教师在回答学生问题的过程中，及时了解学生的知识盲点，编写相应的课堂练习题。待录播课播放完毕（每次课都预留至少半节课的时间），及时发起课堂作业，让学生得到及时的训练。
图 12 即时编写课堂作业及学生完成情况
图13 保存录播课手写板笔记便于复习
3.课后环节：上传视频课讲稿+总结问题+课后辅导
(1) 为便于学生对课中某些重点、难点和知识点的进一步思考和复习。教师每次课后，都将视频课讲稿和学生的问题整理成图片，发布在云班课的资源中，供学生随时学习！
图 14 视频课问题整理
(2) 在云班课上发布本周作业，学生需在规定时间内完成并上传自己的作业至云班课（要求：手写并拍照提交），云班课自动统计每次作业的完成情况。
(3) 教师在云班课APP中对提交的课堂作业和课后进行批注和点评，找出学生的问题所在。根据学生提交的测试和作业，资料查看情况等信息，教师对学生的学习效果进行评价，为下一次的录播课提供依据。
(4) 课后及时解答学生的问题，帮助学生消化课上所讲的重点、难点知识点，并将具有一定代表性的问题，归入到下一次录播课和轻直播的内容。
图15学生提交在云班课的作业情况
图16教师批改和点评学生作业
课后及时解答学生的问题，帮助学生消化课上所讲的重点和难点，并将具有一定代表性的问题发至班级微信学习群，让大家一起来思考讨论。
图17微信答疑学生的问题
四、线上教学小结和体会
通过课后反馈和调查问卷的情况来看，学生的自主学习的积极性和参与度都比较高，能接受这种视频学习+录播+线上辅导的教学模式，能按时完成每次布置的作业任务，碰到问题也能及时提出来。在录播教学和线上辅导的过程中，学生对手写板的使用非常认同，觉得它非常方便理解数学分析的推导和课后复习。
在本课程的教学过程中，教师探讨了多种教学方法和手段在线上教学中的效果。有如下几点体会：
1. 课堂检测的题型的选择和效果。教师开始使用选择题用于检测。效果不尽如人意。原因在于，用选择题作为课堂练习，虽然能快速统计出学生的答题情况，但不能真实反映学生的思维过程，无法对学生的学习效果做出客观的评价（如图18）。而通过自编的课堂习题（解答题或证明题，如图19），则能较好的检测出学生对知识点的掌握程度（如图20，反映了不同学生对同一知识点的理解的四个层次）。
图 18 以选择题作为课堂练习及其统计分析
图 19 针对讲解过程自编的课堂练习
图 20 课堂作业（图19）完成情况的部分展示
2.使用慕课资源的效果。在使用慕课的过程中，教师发现“教”与“学”是一个动态的矛盾。有些慕课视频，学生可以迅速理解；有些则难以理解。从教学理论来分析，这其实是学生的最近发展区或者说是学生的认知结构与视频课所预设的认知起点之间的矛盾。因此，教师需要在教学过程中，通过课堂测试、课后作业以及与学生的讨论等方式来了解学生内在的认知结构和最近发展区。这样才可以发挥出慕课资源的优势。
3.数学史资料的使用效果。在正常的线下教学中，由于受教学进度和教学时间的限制，教师无法对数学分析课程的背景展开。但在线上教学中，教师则有充分的时间和精力，在这方面予以补充。由此可以帮助建立起学生的数学史观，激发学生的学习数学的兴趣。
当然，与传统的课室授课相比较，在线教学模式也有它的不足之处：
1.因条件受限，教师没有办法看到的学生听课的表情，无法即时判断出学生对所讲知识点的理解程度，进而无法控制讲课的速度，对知识点讲解的详略也不能及时调整；
2.学生在家里学习，容易受到外界的干扰，与教师和同学缺少了现场互动，影响了教学效果。
